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不定方程中的那些事

Tag: 2021年 江蘇公務員 公務員考試 2020-04-10    來源:江蘇公務員考試網 【 打印 】 我要提問我要提問
  在近年的公務員考試中,關于計算問題的考查非常常見,而在計算問題中經常會涉及到關于不定方程的考查,但是許多同學仍然對不定方程不太熟悉,有時候甚至意識不到題目其實是對不定方程的考查,從而導致做題速度較慢。接下來江蘇公務員考試網給大家講解不定方程里面常見的解題方法與技巧,加深大家對不定方程的理解。
 
  一、不定方程的定義
 
  不定方程是指未知數個數多于獨立方程個數的一類方程。例如:2x+3y=24。在這個方程中有x和y兩個未知數,所以對于這個方程而言它的解是不固定的,是一個不定方程。
 
  二、不定方程的求解
 
  在上面的定義中提到不定方程的解是不固定的,那怎么求解呢?其實在實際的考試中,求解不定方程的時候,往往會結合現實背景來進行考查,也就是說會對這些未知數進行一個限定,比如說文件袋的數量,人數等等只能為正整數,所以在加上這些限定條件后不定方程的解也就確定下來,接下來我們就一起來看看正整數范圍內不定方程到底該如何求解吧。
 
  例.小明去超市買文具,一個文具盒3元,一只鋼筆7元,最終小明一共花了24元,則小明買了幾只鋼筆?
 
  A.1 B.2 C.3 D.4
 
  【答案】C。解析:題中描述了小明買若干個文具盒和鋼筆共花了24元這樣一件事情,且已知文具盒和鋼筆的單價,那么總共花的錢就由文具盒的數量和鋼筆的數量決定,而題目中未告知他們的數量分別是多少,所以就可以假設鋼筆數量為x,文具盒數量為y,則有7x+3y=24求解的是鋼筆的數量即x的值,結合選項給的也是鋼筆的數量,因為是單選題,所以勢必只有一個答案,就可以依次帶入選項看看哪個符合題意,帶入A則為7*1+3y=24,易知y是一個分數,結合實際文具盒數量y應為正整數排除,同理可排除B,帶入C可解出y=1,符合題意,選C,這種解決題目的方法其實就是不定方程中最基礎的方法,代入排除法。
 
  以后遇到類似的方程,其實都可以用代入排除的方法解決,那么在帶入選項的時候是不是有一些更快的方法,接下來我們就直接結合不定方程來將這些方法介紹給大家。
 
  1、整除法
 
  例2. 3x+7y=49,已知x,y為正整數,則x=()
 
  A.4 B.7 C.9 D.11
 
  【答案】B。解析:對于這道題完全可以把選項一一帶入選項,是可以得到答案的。但是對于這道題7y能被7整除,49也能被7整除,所以3x也應該能被7整除,也就是x能被7整除,結合選項答案只有C,所以當某一未知數前的系數與常數項有非1公約數時,就可以考慮整除法。
 
  2、奇偶性
 
  例3. x+2y=24,已知x,y為正整數且x為質數,則x=()
 
  A.2 B.3 C.6 D.7
 
  【答案】A。解析:對于這個方程首先還是分析x,y為正整數,并且兩個未知數一個方程可以知道這道題其實還是屬于正整數范圍內求解不定方程,并且2y是個偶數,24也是偶數,那么x也為偶數,并且題目中還說x為質數,那么x為一個質偶數,在正整數范圍內只有2是唯一的質偶數,所以x=2,所以結合這道題未知數前系數為一奇一偶時,就可以考慮利用奇偶性來解決這類不定方程。
 
  3尾數法
 
  例4. 2x+10y=36,已知x,y為正整數,則x=()
 
  A.2 B.3 C.5 D.7
 
  【答案】B。解析:這道題10y的尾數確定為0,36的尾數確定為6,所以2x的尾數只能為6,結合四個選項只有當x=3時,2x尾數才能為6,結合這道題當未知數前的系數為5的倍數時就可以考慮用尾數法來解決不定方程。
 
  通過上面的例題,我們可以看到在正整數范圍內求解掌握了相應的方法解起來還是簡單的。望大家能熟練掌握,有所收獲。
 


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